Download 11 érthető matematika megoldásai PDF

Title11 érthető matematika megoldásai
File Size5.5 MB
Total Pages59
Document Text Contents
Page 1

�0

�5

�2�5

�7�5

�9�5

�1�0�0

�m�a�t�e�k�_�1�1�_�b�o�r�i�t�o�_�n�y

�2�0�1�1�.� �s�z�e�p�t�e�m�b�e�r� �1�3�.� �1�3�:�1�9�:�0�7

Page 2

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József
Szászné Dr. Simon Judit

MATEMATIKA 11.
Az érthetõ matematika

NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST

16312_Matek11_00_cimnegyed 2011.12.19. 19:33 Page 1

Page 29

MathMagic Equation EPS


29

6. EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK

d)

Mivel a hatvány alapja 1-nél nagyobb, az függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz

fel -nél nem nagyobb értéket, ha

(Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt!)

Mint a példákban láttuk, az egyenlõtlenségek megoldása során figyelnünk kell a reláció jel
állására. Célszerû úgy átalakítani az egyenlõtlenséget, hogy annak egyik oldalán konstans, másik
oldalán olyan exponenciális kifejezés legyen, melynek kitevõjében az ismeretlen együtthatója
pozitív. A reláció jel állása így az exponenciális függvény monotonitása miatt biztonságosabban
megállapítható.

;

.

x

x

6 1 0

6
1

#

#

-

2
5 1

0
=b l

f x 2
5 x6 1

=
-

^ bh l

;

;

;

.

2
5

5
2

2
5

2
5

2
5

2
5

1

2
5

2
5

x x

x x

x

x

x

5 1

5 1

5 1

6 1 0

#

#

#

#

-

- -

-

-

-

b b

b b

b

b

b b

l l

l l

l

l

l l

Ismételjük át, mikor mondjuk azt egy függvényrõl, hogy
a) szigorúan monoton növekedõ;
b) szigorúan monoton csökkenõ!

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az és a függvényeket!

a) Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából!
b) Általánosan milyen esetekben

– szigorúan monoton növekedõ;
– szigorúan monoton csökkenõ egy exponenciális függvény?

Oldjuk meg az alábbi egyenlõtlenségeket!

K1 a) ; K1 b) ; K1 c) ; E1 d) .

Ábrázoljuk számegyenesen az alábbi egyenlõtlenségek megoldásait!

a) ; b) ; c) ; d) .,0 01 1000x1 $-,4
5 0 8

x 2
#

+

b l3
2

2
3x

1b l4
1

16
1x

$b l

3 25
5 15

x 3
$ #

+

, ,0 1 0 001x 13 3x 2 $+2 8x 1

:f x 2x7 :g x 2
1 x

7 b l

Fogalmak
exponenciális

egyenletrendszer;
exponenciális

egyenlõtlenség.

FELADATOK

1. K1

2. K1

3.

4. E1

16312_Matek11_01_ 2011.12.19. 18:54 Page 29

Page 30

MathMagic Equation EPS


30

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

Oldjuk meg az egyenlõtlenségeket a valós számok halmazán!

K2 a) ; K2 b) ; K2 c) ; E1 d) .

Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I. 1619–1622, 1626–1628.

7. A LOGARITMUS FOGALMA

Vizsgáljuk 600 000 Ft lekötését, évi 4,5%-os kamat ese-
tén. Mennyi idõre kell lekötni pénzünket ahhoz, hogy
1 millió Ft követelésünk legyen a bankkal szemben?

1 év múlva 600 000 ⋅ 1,045 = 627 000 Ft-ot,
2 év múlva 627 000 ⋅ 1,045 = 600 000 ⋅ 1,0452 =

= 655 215 Ft-ot,
.
.
.
n év múlva 600 000 ⋅ 1,045n Ft-ot követelhetnénk.

Tehát a következõ egyenlet megoldását keressük:
600 000 ⋅ 1,045n = 1 000 000,
ahol n a keresett évek számát jelöli. Rendezve

.

Nyilvánvaló a kérdés: létezik-e olyan valós szám, amelyre ?
Mivel n pozitív egész szám (évek száma), ezért próbálgatással, számológéppel számolva:
1,04511 ≈ 1,62, 1,04512 ≈ 1,696.
Tehát minimum 12 évre kellene lekötnünk a 600 000 Ft-ot, 12 év elteltével követelésünk:
≈ 1 017 529 Ft.
Az egyenletnek ennél pontosabb megoldásra most a feladat szövege miatt nyilván nincs szükségünk.

Általánosan nézve a problémát az

alakú egyenletnek keressük a megoldását, ahol a hatvány alapja (a) pozitív, a hatvány értéke (b) szintén po-
zitív.

Úgy is fogalmazhatunk: olyan (x) kitevõt keresünk, amelyre a pozitív alapot (a-t) emelve a hatvány ér-
téke a pozitív (b) szám. A keresett kitevõt a továbbiakban logaritmusnak fogjuk nevezni.

x R!^ h

4 2x x3 1 21+ - 2 8
1x x5 92 #+ -,0 01 10x x1 2 31- -2

1 1x
x

2
1

$+
-

b l

a bx =

1,045 1,6n = o

1,045 1,6600 000
1000 000n

= = o

5.

Ajánlott feladatok

1. példa

Megoldás

16312_Matek11_01_ 2011.12.19. 18:54 Page 30

Page 58

Equation Output


58

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

Arkhimédész (i. e. 287–212) a körbe írt szabályos sokszögek kerületével közelítve r értékére a

egyenlõtlenség-rendszert kapta. Mennyire volt pontos a közelítése?

Arkhimédész szerint , vagyis . Legyen r értéke az intervallum felezõpontja, ekkor

a hibakorlát az intervallum hosszának a fele. Azaz Arkhimédesz közelítése: r ≈ ≈ 3,141851107, és a hibakorlát

≈ 1,006 ⋅ 10–3.

A mai tíz jegyre pontos érték: r ≈ 3,141592654, a görög tudós által elkövetett hiba ≈ 2,58453 ⋅ 10–4.

Megjegyzés

Általában is így van: a 0 < c < x < d egyenlõtlenségpár azt jelenti, hogy c és d számtani közepe, , az

hibahatáron belül megközelíti x-et.

A 2. példa alapján látható, hogy összeadás és kivonás során a hibakorlátok összeadódnak; ha pedig a közelítõ ér-
téket a (pozitív) c számmal szorozzuk, a hibakorlát c-szeresre változik.

Néhány észrevételt tehetünk:
– Ha több azonos hibakorláttal rendelkezõ számot adunk össze, akkor a hibakorlát az eredeti többszöröse lesz. Ez

persze nem azt jelenti, hogy a hiba is többszörös lesz: a számok egy részében „lefelé”, egy részében „felfelé” kerekí-
tünk, így a kerekítési hibák többnyire kompenzálják egymást.

– A fentiekbõl következik, hogy lényeges a kerekítés, illetve a mûveletvégzés sorrendje. Összeg kerekített értéke és
kerekített tagok összege különbözhet. Például: 1,3 + 2,4 egészekre kerekített értéke 4, míg egészekre kerekítés után
az összeg 1 + 2 = 3.

– Ha a két összeadandó nem azonos pontosságú, akkor a kevésbé pontos szám határozza meg az összeg hibakor-
látját. Például: a = 3,56 és b = 111,2 kerekített értékek összege a + b = 114,76, a hibakorlát 0,005 + 0,05 = 0,055,

d c
2f =
-

c d
2
+

994
1

994
3123

,
71

223
7
22

!r :D ,497
1561

497
1562

!r :D

3
71
10 37

1
1 1r

Megoldás

Õ volt az ókor legnagyobb hatású, alkotó matematikusa és fizikusa. A szicíliai görög városban, Szira-
kuzában élt. Több nevezetes eredmény fûzõdik a nevéhez. A r közelítése mellett foglalkozott térgeo-
metriával (megállapította például, hogy az egyenlõ oldalú henger, a bele írható gömb és a hengerbe
írható kúp térfogatainak aránya 3:2:1), kiszámította a parabolaszeletek területét, speciális görbéket
elemzett (arkhimédészi spirális). Mechanikai jellegû munkáiban vizsgálta a síkidomok súlypontjait, a fo-
lyadékok és gázok egyensúlyát, de az õ nevéhez fûzõdik a differenciál-csigasor feltalálása is.
Amikor i.e. 213-ban a római seregek megtámadták Szirakuzát, Arkhimédész sikeresen támogatta ta-
lálmányaival a védelmet, így a város évekig ellenállt az ostromnak.

Arkhimédész
(i.e. 287–212)

A HIBÁK ÖRÖKLÕDÉSE (MÛVELETEK ÉS HIBATERJEDÉS)

7. példa

16312_Matek11_01_ 2011.12.19. 19:04 Page 58

Page 59

Equation Output


59

KÖZELÍTÕ ÉRTÉKEK (OLVASMÁNY)

a közrefogó intervallum hossza ennek kétszerese: 0,11. 114,705 # a + b < 114,815; az összeg lényegében b pon-
tatlanságát „õrizte meg”, az elsõ tizedes jegyben lehet eltérés.

Szorzás és osztás esetén a hibakorlátra nem tudunk hasonlóan „szép” képletet felállítani. Sokszor a konkrét feladattól
függ, hogy milyen pontossággal dolgozunk.

Nagyszámú mûveletvégzés során a hibák kellemetlenül megnõhetnek. Csökkentésükre különbözõ eljárások ismer-
tek, az alábbiakban erre mutatunk egy példát.

Határozzuk meg 3 tizedesjegy pontossággal számolva értékét!

Elsõ megoldás

≈ 1,418; ≈ 1,414; ≈ 0,004; ≈ .

Második megoldás

A számológép alapján ≈ 283,1958.

Nyilván a számológép eredménye pontosabb (hiszen a számolás során több értékes jegyet õrzött meg). Miért ilyen
nagy az elsõ megoldás hibája?

és közelítõ értékei egyaránt négy értékes jegyet tartalmaznak. A két szám különbsége kicsi, a kivonás

után kapott 0,004-ben már csak egyetlen értékes jegy szerepel. relatív hibakorlátja ≈ 0,035%, re-

latív hibakorlátja szintén ennyi. hibakorlátja 0,001, relatív hibakorlátja ≈ 25%, ami rendkívül

megnõtt. A kivonás ebbõl a szempontból igen kellemetlen mûveletnek bizonyult, érdemes a kifejezést átalakítanunk.

Harmadik megoldás

A tört nevezõjét gyöktelenítjük: . Most

hibakorlátja 10–3, tehát három értékes jegyet tartalmaz; de a 0,01 már pontos érték. ≈ 100 ⋅ 2,832 =
= 283,2.

Ez az eredmény már elfogadható pontosságú.

Amikor közelítõ értékeket alkalmazunk, akkor a pontos számadatok helyett valójában számközökkel
dolgozunk (közelítõ érték ! hibakorlát). A pontos számok, egyenletek helyett egyenlõtlenségekkel,
egyenlõtlenség-rendszerekkel számolunk, és az eredmény is számköz lesz.

A gyakorlatban a közelítés másik nehézségét az jelenti, hogy elõre adott (vagy megállapítható), hogy
legfeljebb mekkora hibát szabad elkövetnünk. Ha egy feladatban elõírt pontosságú végeredményt kíván-
nak meg, akkor visszafelé kellene számolnunk, de ez igen nehéz. Általában úgy járunk el, hogy a megol-
dás során több tizedes jegyet veszünk figyelembe (ezek az ún. tartalékjegyek), és a végeredményt a meg-
felelõ pontosságúra kerekítjük. Ekkor legfeljebb azt kockáztatjuk, hogy egy-két tizedesjegyet feleslegesen
cipeltünk magunkkal.

,100 2 01 2+_ i

, , ,
,

,
,

2 01 2
1

2 01 2 2 01 2
2 01 2

0 01
2 01 2

-
=

- +

+
=

+

_ _i i
,2 01 2+

,2 01 2-
,
,

0 004
0 001

2
,
,

1 414
0 0005

,2 01

,2 01 2

,2 01 2
1
-

,2 01 2 ,2 01 2-
,2 01 2

1
- ,0 004

1 250=

,2 01 2
1
-

Az 55. oldalon lévô rejtvény megoldása:

a) Tízezerszer.
b) A kilengés (amplitúdó) nagysága 5 mm = 5 ⋅ 103 nm.

Így a rengés lg(5 ⋅ 103) = lg 5 + lg 103 = lg 5 + 3 ≈ 3,7 erõsségû.

8. példa

Megoldás

Fogalmak
közelítõ érték;
(abszolút) hiba;
relatív hiba;
hibakorlát;
relatív hibakorlát.

16312_Matek11_01_ 2011.12.19. 19:04 Page 59

Similer Documents