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                            Capitulo 1
Capitulo 2
Capitulo 3
Capitulo 4
Capitulo 5
Capitulo 6
Capitulo 7
Capitulo 8
Apendice A
Apendice B
Soluciones a ejercicios
Factorixaciones matriciales
Glosario
Indice
                        
Document Text Contents
Page 1

THOMSON

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Gilbert Strari9 . ··

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THOIVllSON

Australia • Brasil • Canadá • España • Estados Unidos • México"

Page 125

238 Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos

1

portamiento de cada vector característico, y luego combinar estos "modos normales" para
encontrar la solución. En otras palabras, es posible diagonalizar la matriz subyacente.

La diagonalización de la sección 5.2 se aplicará a ecuaciones en diferencias, a los nú-
meros de Fibonacci, y a los procesos de Markov, así como a las ecuaciones diferenciales.
En cada ejemplo se comenzará con el cálculo de los valores característicos y los vectores
característicos; no existe ningún atajo para evitar esto. Las matrices simétricas son espe-
cialmente fáciles. Las "matrices defectuosas" carecen de un conjunto completo de vecto-
res característicos, por lo que no son diagonalizables. Ciertamente, es necesario analizarlas,
aunque no se les permitirá su ingreso en el libro.

Se empieza con ejemplos de matrices especialmente bondadosas.

Todo resulta evidente cuando A es una matriz diagonalizable:

[
3 º} . A=
0 2

tiene A¡ = 3 con con Xz = [~] ·
Sobre cada vector característico, A actúa como un múltiplo de la identidad: Ax1 = 3x1 Y
Ax

2
= 21:

2
• Otros vectores como x = (1, 5) son mezclas de x1 + 5x2 de los dos vectores ca-

racterísticos, y cuando A multiplica a x 1 y x2 , se obtienen los valores característicos A.1 =

3 y A.2 = 2:

A multiplicada por X¡ + 5x2 es 3x1 + l0x2 = [ 1 ~] ·
Esto es Ax para un vector típico x, no para un vector característico. Sin embargo, la acción
de A es determinada por sus vectores característicos y valores característicos:

¡Los valores característicos de una matriz proyección son lo O!

P = [ 1 1 J tiene A. 1 = l con x 1 = [!], A. 2 =O con x2 = [-iJ.
Cuando x se proyecta sobre sí mismo, se tiene A. = 1, y cuando x se proyecta sobre el vec-
tor cero se tiene A = O. El espacio columna de P está lleno de vectores característicos, así
como el espacio nulo. Si las dimensiones de estos espacios son r y n - r, respectivamen-
te, entonces A. = l se repite r veces y A = O se repite n - r veces (siempre n A.s):

P~ [~ ~ ~ ~] ti~o >~l,l,0,0. Cuatro valores característicos que
repeticiones

No nada excepcional sobre A. =O. Así como cualquier otro número, el cero po-
dría o no ser un valor característico. En caso de serlo, entonces sus vectores característicos
satisfacen Ax = Ox. Así, x está en el espacio nulo de A. Un valor característico cero indica
que A es singular (no invertible); su determinante es cero. Todas las matrices invertibles
cumplen Je 7"' O.

Cuando A es triangular, los valores característicos están sobre la diagonal principal.

det(A - Al)

1-A

o
o

4

~-A
o

5

6 =(1-A)(%-Jc)0-A.).

~-A.

5 .1 Introducción 239

El determinante es justo el producto de los elementos en la diagonal. Es cero si Je I,
A. = ~ o A = ~ ; los valores característicos ya estaban en la diagonal principal.

Este ejemplo, donde los valores característicos pueden encontrarse por inspección,
apunta a otro tema fundamental del capítulo: la transformación de A en una matriz diagonal
o triangular sin cambiar sus valores característicos. Una vez más se recalca que la factori-
zación gaussiana A = LU no es adecuada para este propósito. Los valores característicos de
U pueden ser visibles en la diagonal, pero no son los valores característicos de A.

Para la mayor parte de las matrices, no hay duda de que el problema de los valores ca-
racterísticos es computacionalmente más difícil que Ax= b. Con sistemas lineales, un nú-
mero finito de pasos de eliminación producía la respuesta exacta en un tiempo finito. (O,
de manera equivalente, con la regla de Cramer se obtenía una fórmula exacta para la solu-
ción). Ninguna fórmula es capaz de proporcionar los valores característicos, o Galois se re-
volvería en su tumba. Para una matriz de 5 por 5, det (A - AJ) implica A5 . Galois y Abel
demostraron que no puede haber ninguna fórmula algebraica para encontrar las raíces de
un polinomio de quinto grado.

Todo lo que éstos permiten son algunas verificaciones sencillas de sus valores caracte-
rísticos, después que se han calculado, y se mencionan dos buenos: la suma y el producto.

La matriz proyección P tiene elementos en la diagonal !, ~ y valores característicos 1, O
Así, ~ + ~ coincide con 1 + O, como debe ser. Así también lo hace el determinante, que es
O · 1 = O. Una matriz singular, con determinante cero, tiene uno o más de sus valores ca-
racterísticos igual a cero.

No debe haber confusión entre los elementos en la diagonal y los valores característicos.
Para una matriz triangular siempre son iguales, aunque este hecho es excepcional. Normal-
mente los pivotes, los elementos en la diagonal, y los valores característicos son completa-
mente distintos. Y para una matriz de 2 por 2, la traza y el determinante lo dicen todo:

[ ~ ! ] tiene traza a + d, y determinante ad - be

)
a -A.

det(A-AJ)=det e d ~A 1 = A 2 - (traza)A. + determinante

La suma de estos dos AS es igual a la traza; en el ejercicio 9 se proporciona
para todas las matrices.

A.; = traza

Hay un programa de demostración MATLAB (simplemente hay que teclear eigshow), que
despliega el problema del valor característico para una matriz de 2 por 2. Empieza con el
vector unitario x = ( 1, 0). El mouse hace que este vector se desplace alrededor de la circun-

Page 126

240 Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos

ferencia unitaria. Al mismo tiempo, la pantalla muestra a Ax, a color y también en movi-
miento. Posiblemente Ax esté enfrente de x. Posiblemente Ax esté detrás de x. Algunas ve-
ces Ax es paralelo ax. En ese instante paralelo, Ax= A.x (dos veces en la segunda figura).

A= [0.8 0.3]
y= (O, 1) 0.2 0.7 -,

r-~.3,0.7)
~X= (0.8,0.2)

X= (1, 0)

\

\

El valor característico .A. es la longitud de Ax, cuando el vector característico unitario
x es paralelo. Las opciones integradas para A, ilustran tres posibilidades: O, 1, o 2 para vec-
tores característicos reales.

l. No hay vectores característicos reales. Ax permanece atrás o adelante de x. Esto sig-
nifica que los valores característicos y los vectores característicos, son complejos, co-
mo lo son para la rotación Q.

2. sólo una recta de vectores característicos (lo cual es inusual). Las direcciones
cambiantes Ax y x se encuentran pero no se cortan. Este hecho ocurre para la
te matriz de 2 por 2.

3. vectores característicos en dos direcciones hecho es típico!
Ax corta ax en el vector característico X¡, y corta en el segundo vector carac-
terístico x2 •

Suponga que A es singular (de rango 1). Su espacio columna es una recta. El vector
Ax debe permanecer en esa recta mientras x gira alrededor. Un vector característico x está
a lo largo de la recta. Otr.o vector característico aparece cuando A.x2 = O. Cero es un valor
característico de una matriz singular.

Para estas seis matrices, es posible seguir mentalmente a x y a Ax. ¿Cuántos vectores
característicos hay, y dónde? ¿Cuándo ocurre que Ax se desplaza en el sentido del movi-
miento de las manecillas del reloj, en vez de hacerlo en sentido contrario a las manecillas
del conx?

l.

2.

3.

A=[~ n [~ -~]
Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de la matriz A =

[ ~ -l]. Compruebe que la traza es igual a la suma de los valores característicos, y
que el determinante es igual a su producto.

Con la misma matriz A, resuelva la ecuación diferencial du/dt = Au, u(O) = [~J.
¿Cuáles son las dos soluciones puras?

Si se pasa a A - 71, ¿cuáles son los valores característicos y los vectores característi-
cos, y cómo están relacionados con los de A?

[-6 -1] B=A-71= 2 _ 3 .

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

5.1 Introducción 241

Resuelva du/ dt = Pu cuando Pes una proyección:

~; = u n u con u(O) = [;J.
Parte de u(O) crece exponencialmente mientras la parte del espacio nulo, permanece
fija.

Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de

[

3 4
A= O 1

o o ~] y [
o o

B = O 2
2 o

Compruebe que A.1 + .A.2+ .A3 es igual a la traza y que A. 1.A.2A.3 es igual al determinante.
Proporcione un ejemplo para demostrar que los valores característicos pueden cam-
biarse cuando un múltiplo de un renglón se resta de otro. ¿Por qué los pasos de elimi-
nación no modifican un valor característico igual a cero?

Suponga que .A. es un valor característico de A, y que x es un vector característico:
Ax= A.x:

a) Demuestre que este mismo x es un vector característico de B =A - 7/, y encuen-
tre el valor característico. Esto debe confirmar el ejercicio 3.

b) Suponga que A # O, demuestre que x también es un vector característico de A - 1, y
encuentre el valor característico.

Demuestre que el determinante es igual al producto de los valores característicos, su-
poniendo que el polinomio característico se factoriza como

det(A - .Al) = (.A.1 - .A.)(.A. 2 - .A.)··· (,\.n - A),

y haciendo una elección inteligente de .A..
(16)

En dos pasos, demuestre que la traza es igual a la suma de los valores característicos.
Primero, encuentre el coeficiente de ( - .A. r- 1 en el miembro derecho de la ecuación
(16). encuentre todos los términos de

[

ª11 -.A.
a?¡

det (A - >..!) = det ~

anl

a12

a22 - A.

que implican a (-A.)n-l. ¡Todos nr,,V1,,,,n,•n de la ""''"'"'""-' principal! Encuentre ese
coeficiente de , y compare.

a) Construya matrices de 2 por 2 tales que los valores característicos de A B no sean
los productos de los valores característicos de A y B, y los valores característicos de
A + B no sean las sumas de los valores característicos individuales.

b) Compruebe, no obstante, que la suma de los valores característicos de A + B es
igual a la suma de todos los valores característicos individuales de A y B, y de ma-
nera semejante para los productos. ¿Por qué es cierto lo anterior?

Los valores característicos de A son iguales a los valores característicos • Esto
se debe a que det (A - Al) es igual a det (AT - .A.[). Lo anterior es cierto porque __ .
Demuestre con un que los vectores característicos de A y A T no son los mis-
mos.

Page 249

486 Índice

o
Operaciones aritméticas, 14, 15
Optimalidad, 378, 386, 394
Orden invertido de bits, 196
Ortogonal, 141-200

base, 141
complemento, 145-146
DVS, 148
matriz, 175
proyección, 152-159
valores característicos, 272
vectores unitarios, 141
vectores y subespacios, 141-151

También véase Proceso de
Gram-Schmidt

Ortogonalización, 174, 182, 187,
331, 375,477,481

Ortonormal, 141-143, 148, 174-188
Oscilación, 234, 270, 274-275

p

PA = LU, 38, 39
Panqueque, 152
Paralelogramo, 4
Paréntesis, 6, 21-24, 34, 45-49, 134,

213,332,434,445,476
Patrones escalonados, 78
Permutación, 37-45, 202-203,

211-218
Permutación impar, 226-227
Permutación par, 44, 217, 230, 436,

453
Perpendicular. Véase Ortogonal
Perron-Frobenius, 261, 262
Perturbación, 62, 353, 357
Pivoteo completo, 63
Pivoteo parcial, 62, 352
Pivotes, 311

fórmulas para los pivotes, 202
positivos, 318
prueba, 47-49
variables, 80-81, 384

Pivotes diferentes de cero, 48
Planos, 4-5
Planos paralelos, 7, 8
Polinomio, 389, 478, 480, 481
Polinomio de Legendre, 182, 185
Polinomios característicos, 235
Polinomios por partes, 347-348
Póquer, 377, 412-414
Positiva semidefinida, 314, 321
Potencial, 339, 349, 478
Potencial en los nodos, 115
Potencias de matrices, 255

Preacondicionador, 368
Precio imaginario, 393, 396
Primer pivote, 12
Primera búsqueda de amplitud, 406
Primera búsqueda de profundidad,

406
Principio de incertidumbre, 250
Principio de incertidumbre de

Heisenberg, 250
Principio de Rayleigh, 342
Principio maximin, 344, 409, 411
Principios mínimos, 339-345
Problema con valor inicial, 233
Problema de dieta, 380
Problema de dos puntos con valor

en la frontera, 59
Problema de la ruta mínima, 404
Problema de transporte, 381, 406
Problema del matrimonio, 403-405
Problema dual, 382-391
Problema primal, 392
Proceso de Gram-Schmidt, 17 4-187
Proceso de Markov, 238, 257-259
Proceso de Markov continuo, 273
Producto. Véase multiplicación de

matrices
Producto cartesiano, 417
Producto de Kronecker, 418
Producto interno, 20, 143, 169
Producto interno de funciones, 183
Producto punto. Véase Producto

interno
Programación dinámica, 406
Programación lineal, 377-414

desigualdades lineales, 377-381
modelos de redes, 401-407
método simplex, 382-291
problema dual, 382-391
restricciones, 378-380
tabla (tableau), 386-388
teoría de juegos, 408-413

Promedio ponderado, 169
Proyección, 322, 328, 338, 390-392,

416,447-448,450,461,465,
467,475,479,481

Proyección sobre una recta,
152-159

Prueba de detención, 386, 388, 391,
471

Pruebas para la característica de ser
positiva definida, 318-330

Punto de intersección, 4, 5
Punto mínimo, 311
Puntos silla, 311-317, 408

Q
Químico, 156, 203, 273
QAQT, 320-323, 327

R
Radio espectral, 351
Raíces de la unidad, 189-190
Rango como espacio columna, 92
Rango de los renglones = rango de

las columnas, 105
Rango de una matriz, 83, 98, 104
Rango total, 103, 109
Rango uno, 87, 107-114, 138, 140,

329, 333,337,417-418,
438-439,464,473,479,480

Razones de determinantes, l, 222,
224

Red, 114-119, 124, 401-407, 478
Regla de convolución, 189
Regla de Cramer, 202, 221-222
Regla de las columnas, 21
Renglón a la vez, 372
Renglón multiplicado por una

columna, 20
Representación por renglón, 428,

480
Representación por columna, 7, 8
Reescalamiento, 390
Restricción, 82, 85, 340-344, 346,

378-387, 390, 392, 394-402,
406, 470-471, 480

Restricciones de igualdad, 383
Rn, 69, 72-73, 288
Rotación del plano, 361, 365, 367
RRT y RTR, 51, 52

s
S- 1AS, 132,245-248, 285,293, 299,

301, 324,477
Semiancho de banda, 61
Semidefinida, 314, 321, 327, 329,

333-334,467,475,480,488
Semiespacio, 377
Serie de Fourier, 182
Serie de Fourier discreta, 192
Serie de Taylor, 315
Seudoinversa, 108, 148, 161, 335
Signos de los valores característicos,

271, 308, 311, 314, 318,
324-326, 329, 346, 478

Sistema sobredeterrninado, 153, 166
Sistemas incurables, 13
Sobredeterrninado, 153, 166
Sobrerrelajarniento, 368-371

i
i

j
i

í
(

Sobrerrelajamiento sucesivo (SRS),
368, 369

Soluciones especiales, 80, 81, 104
Soluciones particulares, 82, 83
Subdeterminado, 161
Subespacio, 70, 98

fundamental, 102-115, 123,
137-139, 187, 392,477,481

ortogonal, 114, 141-200, 399,
446,477,479,481

Subespacio ortogonal, 143-149,
151-152, 415, 479

Subespacios fundamentales, 102-113
Submatriz, 44, 78, 148, 196, 213,

223, 224, 296, 318-319, 346,
404,407,433,438,450,472

Submatriz principal, 87
Sucesión de Krylov, 365
Suma, 7-8, 21, 70-73, 82, 115,

126-127, 176-178, 181-184
Suma de cuadrados, 142, 160, 166,

177, 182, 199, 318-323, 327,
464

Suma de espacios, 415-421
Suma de vectores, 6
Sumatoria, 142, 160, 168, 177, 182,

199, 318-320, 327
Superposición, 237
Sustitución hacia atrás, 12, 36

T
Tabla (tableau), 386-388
Tablero de ajedrez, 139, 216, 242
Tensor, 2, 418
Teorema espectral, 285
Teorema flujo rnáx-corte mín, 402
Teorema fundamental del álgebra

lineal, 106, 116-117, 141,
146-147, 335, 398

FA e:
u ,,. ... , ''f':L. URUGUAY

• c. ,-: ; CJ N Tufflce

T,eortp¡p rninimax 344 393 409 : . "' ,:i , ·
ng. "'"''°''";::_·:.:.'. ~. ': .. • . , .. _-,,,_,V..,_or.eSJaa.ram~s y vectores 4

11 . f:i'Y .' -"'': ""'-''> - r!LI-'. t<RGENT(iilfacterísticos--233-309
Teoría de juegos, 377-414 '· · ·· · Ak, 255-265 '
Teoría de von Neumann, 412 cálculo, 359-366
Tetraedro, 158 471 · · ·
TFR V:, T ' diagonahzacrón, 245-254

· ea~e ra~sformada de forma de Jordan, 300, 422

481

Founer rápida . b'l'd
Th 412 mesta 1 1 ad, 234, 259, 270-273 orp, r .
Transf' . , po monuo característico, 235

onnac~~n, 126-129, 131-136 matrices complejas 280-292
Transformac1on de seme·an · · · '

29
3

_
306

J za, matnz posmva definida, 311

Transformación identidad, 294
Transformación lineal, 125-137
Transformada de Fourier discreta

188, 189, 287 '
Transformada de Fourier rápida

(TFR), 188-197, 287, 372, 419,
475,477

identidad fundamental, 287
ortogonalidad, 188-197

Traspuesta conjugada, 283
Traza, 239-241, 243-244, 250-253
Tukey, John, 194

u
Unicidad, 69

V

Valor característico cero, 109, 236,
238, 241-243, 246, 488

Valor del juego, 409
Valores característicos diferentes de

cero, 49
Valores característicos distintos,

245-247, 297-299, 303, 308,
427,473

Valores característicos dobles, 246,
422

Valores característicos repetidos, 246

prueba del valor característico, 320
semejanza, 293-306
valores característicos dobles

246,422 ,
Variable de entrada, 387
Variable de salida, 387
Variable floja, 379, 383
Variable libre, 80-85, 89-91, 94,

104-109, 124, 384-387, 396,
437-441, 477-481

Varianzas y mínimos cuadrados
ponderados, 169

Vector, 2-9, 29-24
Vector cero, 69
Vector de costo, 382
Vector error, 161-162, 165-167,

170-172
Vector unitario, 143, 174
Vectores característicos

generalizados, 268
Vectores columna, 6-7, 20
Vértice de un conjunto factible,

381-391, 395-397
Volumen, 201

w
Wilkinson, 355
Wronskiano, 268

Page 250

11111111

1 i s
es n

A es invertible.

Las columnas son independientes.

Los renglones son independientes.

El determinante es diferente de cero.

Ax = O tiene una solución x = O.

Ax = b tiene una solución x = A - i b.

A tienen pivotes (d1te1:entes de cero).

A tiene rango completo r = n.

La forma escalonada reducida
por renglones es R = l.

El espacio columna es todo Rn.

El espacio renglón es todo Rn.

Todos los valores característicos son
diferentes de cero.

es positiva definida simétrica.

A tiene n valores singulares (positivos).

.A no es invertible.

Las columnas son dependientes.

El determinante es cero.

Ax = O tiene una infinidad de soluciones.

Ax = b no tiene solución o tiene una
infinidad de soluciones.

A tiene r < n pivotes.

A tiene rango r < n.

R tiene por lo menos un renglón de ceros.

La dimensión del espacio columna es r < n.

El espacio tiene dimensión r < n.

Cero es un valor característico 'de A.

ATA sólo es semidefinida.

A tiene r < n valores singulares.

Cada recta de la columna singular puede hacerse cuantitativa usando r.

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