Download 7H52Lz19LK-Matematička analiza 2-skripta PDF

Title7H52Lz19LK-Matematička analiza 2-skripta
File Size149.0 KB
Total Pages3
Document Text Contents
Page 1

MATEMATIČKA ANALIZA II



(SKRIPTA)




























IB Matematička analiza II

________________________________________________________________________________
2


Funkcije više varijable- Osnovni pojmovi
Varijblu z nazivamo jednoznačnom funkcijom dviju varijbli x,y ako svakom paru njihovih vrijednosti
(x,y) iz danog područja odgovara jednoznačno određena vrijednost z. Varijable x,y nazivaju se
argumentima ili nezavisnim varijablama. Funkcionalna zavisnost se označava: z=f(x,y) ili z=F(x,y)
Analogno se definiraju funkcije triju ili više argumenata.

Područje egzistencije (definicije) funkcije
Pod pojmom područja egzistencije (definicije) funkcije (domene) z=f(x,y) podrazumjevamo skup
točaka (x,y) ravnine XOY u kojoj je dana funkcija definirana (poprima određene realne vrijednosti. U
jednostavnijim slučajevima domena funkcije je konačan ili beskonačan dio ravnine OXY ograničene
jednom ili sa nekoliko krivulja (granica područja). Analogno za funkciju triju varijabli u=(f(x,y,z)
područje egzistencije je neko tijelo u prostoru OXYZ.

Nivo linije i nivo plohe funkcije
Nivo linija funkcije z=f(x,y) je takova linija f(x,y)=C u ravnini XOY u čijim točkama funkcija poprima
jednu te istu vrijednost z=C. Nivo ploha funkcije triju argumenata u=f(x,y,z) je takva ploha f(x,y,z)=C u
čijim točkama funkcija poprima konstantu.

Neprekinutost
Limes funkcije: Broj A nazivamo limesom funkcije z=f(x,y) kada točka P' (x,y) teži točki P(a,b) ako za
po volji odabran ε>0 postoji takav δ>0 da za 0<ρ<δ gdje je udaljenost između točaka P i P' vrijedi
nejednadžba


− <f(x,y) A ε ;
Tada pišemo




=
x a
y b

lim f(x,y) A


Neprekidnost i točke prekinutosti
Funkcija z= f(x,y) naziva se neprekinuta u točki P(a,b) ako je




=
x a
y b

lim f(x,y) f(a,b)

Funkcija koja je neprekinuta u svim točkama nekog područja naziva se neprekinuta u tom području.
Nezadovoljavanje uvjeta prekinutosti može nastupiti kako u pojedinim točkama (izolirana točka
prekinutosti) tako i u točkama koje tvore jednu ili više linija (linije prekinutosti) a ponekad i složenije
geometrijske likove.

Parcijale derivacije
Definicija parcijalnih derivacija: Ako je z =f(x,y) onda uz predpostavku da je npr. y konstanta
dobivamo derivaciju



∂ + −
= =


'
xx 0

z f(x x,y) f(x,y)
lim f (x,y)

x x



koju nazivamo parcijalnom derivacijom funkcije z po varijabli x. Za određivanje parcijalnih derivacija
se možemo služiti običnim formulama deriviranja.

Eulerov teorem
Funkciju f(x,y) nazivamo homogenom funkcijom stupnja n ako za po volji odabrani realni faktor k
vrijedi jednadžba f(kx,ky)≡knf(x,y), Cijela racionalna funkcija bit će homogena ako su svi njeni članovi
istog stupnja,. Za homogenu derivabilnu funkciju stupnja n vrijedi relacija (Eulerov teorem)


+ =' 'x yxf (x,y) yf (x,y) nf(x,y)

IB Matematička analiza II

________________________________________________________________________________
3


Potpuni ili totalni diferencijal
Ako postoje prve parcijalne derivacije i ako su one neprekinute funkcije u točki (x0,y0) tada je f
diferencijabilna u točki (x0,y0) ima totalni diferencijal.



z=f(x,y) ;
∂ ∂

= = +
∂ ∂

z z
z d z d x d y

x y


Na isti način se računa totalni diferencijal za funkcije sa proizvoljnim brojem nezavisnih varijabli.
Potpuni diferencijal se može primjeniti u približnom računanju


z=f(x,y) ; = + + −z f (x x, y y ) f ( x, y )


Deriviranje složenih funkcija
- Slučaj jedne nezavisne varijable
Ako je z=f(x,y) diferencijabila funkcija argumenata x i y koji su sa svoje strane derivabilne funkcije
nezavisne varijable t

= ϕ =z ( t ) , y ψ ( t )
onda se derivacija složene funkcije


[ ]= ϕz ( t ) ,ψ ( t )
računa po formuli

∂ ∂
= +

∂ ∂
d z z d x z d y
d x x d t y d t




Ako se t podudara s jednim argumentom npr. x onda će totalna derivacija funkcije z po x biti


∂ ∂

= +
∂ ∂

d z z z d y
d x x y d x



- Slučaj više nezavisnih varijabli
Ako je z složena funkcija od nekoliko nezavisnih varijabli npr. z=f(x,y) gdje je x=ϕ(u,v), y=Ψ(u,v) ( u,v
su nezavisne varijable, f, ϕ, Ψ su diferencijabilne funkcije) onda se parcijalana derivacija izražava
ovako:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z z x z y
u x u y u
z z x z y
v x v y v

Svojstvo invarijantnosti totalnog diferencijala:
∂ ∂

= +
∂ ∂

z z
d z d x d y

x y



Derivacija i diferencijali višeg reda
Diferencijal drugog reda funkcije z=f(x,y) je diferencijal diferencijala prvog reda te funkcije d2z=d(dz)
ili općenito dnz=d(dn-1z). Ako je z=f(x,y) gdje su x i y nezavisne varijable i funkcija f ima neprekinute
parcijalne derivacije drugog reda tada se diferencijal drugog reda funkcije z računa po formuli:


∂ ∂ ∂
= + +

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2
2 2 2

2 2

z z z
d z d x 2 d xd y d y

x x y y



Općenito vrijedi formula i ona se formalno razvija po binomnom zakonu

 ∂ ∂
= + ∂ ∂ 

n
nd z d x d y z

x y




IB Matematička analiza II

________________________________________________________________________________
4


Deriviranje implicitno zadanih funkcija
- Slučaj jedne nezavisne varijable
Ako jednadžba f(x,y) diferencijabilna funkcija varijabli x i y, definira y kao funkciju od x onda derivaciju
te implicitno zadane funkcije možemo naći po formuli



'
x
'
y

f (x,y)dy
dx f (x,y)

uz uvjet da je ≠'yf (x,y) 0

- Slučaj više nezavisnih varijabli
Analogno ako jednadžba f(x,y,z)=0, gdje je F(x,y,z) diferencijabilna funkcija varijabli x, y, z određuje z
kao funkciju nezavisnih varijabli x i y, a ≠'zF (x,y,z) 0 parcijalne derivacije implicitno zadane funkcije
možemo naći po formuli:


∂ ∂

= − = −
∂ ∂

''
yx

' '
z z

F (x,y,z)F (x,y,z)z z
,

x F (x,y,z) y F (x,y,z)



Drugi način određivanja derivacija funkcije z diferenciranjem jednadžbe F(x,y,z)=0 čime dobivamo:


∂ ∂ ∂
+ + =

∂ ∂ ∂
F F F

dx dy dz 0
x y z




- Sistem implicitno zadanih funkcija

=


=

F(x,y,u,v) 0

Similer Documents