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“main2”

2009/6/19

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[SEC. 2: O COMPLEXO SIMPLICIAL 93

Com efeito, seja sss = [a0, a1, . . . , ar], onde ai = aj(= b) com

0 ≤ i < j ≤ r. Por definição, temos

∂sss =
r∑

k=0

(−1)k[a0, . . . , âk, . . . , ar].

No somatório acima, exceto as parcelas em que k = i ou k = j, as

demais correspondem a simplexos degenerados, logo são nulas. A

soma reduz-se portanto a

∂sss = (−1)i[a0, . . . , ai−1, ai+1, . . . , aj−1, b, aj+1, . . . , ar]

+ (−1)j[a0, . . . , ai−1, b, ai+1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , ar] = 0

pois o segundo simplexo se transforma no primeiro fazendo b dar

j − i− 1 saltos, após cada um dos quais há uma mudança de sinal.

No fim, a segunda parcela aparece com o coeficiente (−1)j+j−i−1 =

(−1)i+1, logo anula a primeira.

Temos assim associado a cada poliedro K e cada anel comuta-

tivo com unidade A, o complexo de cadeias

C(K;A) = C(K) : Cn(K)

−→ Cn−1(K)


−→ . . .


−→

C1(K)

−→ C0(K).

Isto nos põe em condições de utilizar o formalismo desenvolvido

no Caṕıtulo 1. Por exemplo, se L ⊂ K é um subpoliedro, temos a

homologia relativa Hr(K;L) com a respectiva seqüência exata e, se

K = K1 ∪K2 onde K1 e K2 são subpoliedros, vale a seqüência de

Mayer-Vietoris correspondente.

Uma aplicação simplicial f : K → L, do poliedro K no poliedro

L, induz um morfismo do complexo de cadeias C(K) em C(L), o

qual indicamos com o mesmo śımbolo f . Para cada r ≥ 0, o

homomorfismo f : Cr(K) → Cr(L) é definido, de modo natural

pondo, para cada r-simplexo orientado sss = [a0, . . . , ar], f(sss) =

[f(a0), . . . , f(ar)]. Isto nos dá imediatamente f(sss) = 0 se f(ai) =

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