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TagsIntegral Continuous Function Limit (Mathematics) Asymptote Exponential Function
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Table of Contents
                            Partie A :    Résumés de Cours
	Chapitre I :    Limites et Continuité de Fonctions
		I.  Limites et Comportements Asymptotiques
			1°   Limite en l’infini
				a -   Limite infinie en l’infini
				b -   Limite finie en l’infini
			2°   Limite en un point
				a -   Limite infinie en a
				b -   Limite finie en a
			3°   Limites des fonctions usuelles
				a -   Fonctions usuelles
			4°    Opérations algébriques sur les limites
				a -   Addition
				b -   Multiplication
				c -   Quotient
				d -   Formes indéterminées
			5°   Théorèmes de comparaison
				a -   Théorème des gendarmes
				b -   Comparaison à l’infini
			6°   Limite d’une fonction composée
			7°   Limites à gauche et à droite
				a -   Définition et notation
				b -   Théorème
			8°   Asymptote à une courbe et branche parabolique
				a -   Asymptote à une courbe
				b -   Branche parabolique
				c -   En conclusion
				d -    Position de la courbe par rapport à l’asymptote
		II.  Continuité
			1°   Définition d’une fonction continue
			2°    Opérations sur les fonctions continues
			3°   Exemple de fonction non continue : la fonction partie entière
			4°   Théorème des valeurs intermédiaires
				a -   Enoncé
				b -    Théorème de la bijection
	Chapitre II :    Dérivation et Etude de Fonctions
		I.  Dérivation
			1°   Nombre dérivé et fonction dérivée
				a -   Fonction dérivable
				b -   Nombre dérivé
				c -   Fonction dérivée
			2°    Dérivées de fonctions usuelles
			3°   Dérivées et opérations
			4°   Dérivée d’une fonction composée
			5°   Dérivées successives
			6°   Dérivabilité et continuité
			7°   Tangente à une courbe
			8°    Approximation affine
		II.  Etude de Fonctions
			1°   Domaine de définition
			2°   Parité, Périodicité
			3°   Sens de variation
			4°   Extremum
			5°   Représentation graphique
			6°    Plan d’étude d’une fonction
	Chapitre III :    Exponentielle, Logarithme, Puissance
		I.  Fonction exponentielle
			1°   Fonction exponentielle de base e
				a -   Définition
				b -   Propriétés algébriques
				c -   Etude de la fonction exponentielle
				d -   Formes indéterminées
				e -    Fonction eu , où u est une fonction
			2°   Fonction exponentielle de base a
		II.  Fonction logarithme
			1°   Fonction logarithme népérien
				a -   Définition
				b -   Liens avec la fonction exponentielle
				c -    Propriétés algébriques
				d -   Etude du logarithme népérien
				e -   Formes indéterminées
				f -   Fonction ln(u), où u est une fonction
			2°   Fonction logarithme de base a
		III.  Fonction puissance
			1°   Définition
			2°   Propriétés algébriques
			3°   Etude des fonctions puissances
				a -   Sens de variation
				b -   Courbes représentatives pour a > 0
		IV.  Croissance comparée
			1°   Résultat fondamental
			2°   Interprétation du théorème
			3°   Applications
	Chapitre IV :    Intégrales, Primitives, Equations différentielles
		I.  Intégrales
			1°   Fonction continue positive
				a -   Définition
				b -   Exemple de calcul d’une aire
			2°     Fonction continue de signe quelconque
				a -   Fonction de signe négatif
				b -   Fonction de signe quelconque
				c -   Valeur moyenne d’une fonction
			3°   Propriétés de l’intégrale
				a -   Variables muettes
				b -   Propriétés algébriques
				c -   Relation de Chasles
				d -   Linéarité de l’intégrale
				e -   Positivité de l’intégrale
				f -   Intégration d’une inégalité
			4°    Inégalité de la moyenne
		II.  Primitives
			1°   Définition
			2°   Théorèmes
			3°   Primitives d’une fonction continue
			4°   Primitives de fonctions usuelles
			5°   Opérations algébriques
		III.  Calcul d’intégrales
			1°   Théorème fondamental
			2°   Intégration par parties
			3°   Calcul d’aires
		IV.  Equations différentielles
			1°   Equation différentielle  y ’ = ay  ( a réel )
				a -   Définition
				b -   Fonctions solutions
				c -   Unicité de la solution
				d -   Exemple
			2°   Equation différentielle y ’ = ay + b ( a et b réels)
				a -   Définition
				b -   Fonctions solutions
				c -    Unicité de la solution
				d -   Exemple
			3°   Equation différentielle du type y ’ -  ay = g(x)
	Chapitre V :    Suites numériques
		I.  Généralités
			1°   Suite de nombres
			2°   Modes de définition d’une suite
				a -   Suites définies explicitement
				b -   Suites définies par récurrence
			3°   Suites arithmétiques et géométriques
			4°   Sens de variation
				a -   Suites monotones
				b -   Suites strictement monotones
				c -   Suites périodiques, majorées, minorées et bornées
		II.  Raisonnement par Récurrence
			1°   Principe
			2°   Exemple
		III.  Limites et Convergence
			1°   Définitions
			2°   Opérations et théorèmes de comparaison
				a -   Opérations sur les limites
				b -   Théorèmes de comparaison
			3°   Suites arithmétiques et géométriques
				a -   Suites arithmétiques
				b -   Suites géométriques
			4°   Suites monotones
			5°   Suites de type un = f ( n )
			6°   Suites de type un = f ( vn )
			7°   Suites définies par récurrence un+1 =  f ( un )
				 Tracer la courbe représentative de f
				 Placer les points
				 Interprétation graphique
			8°   Suites Adjacentes
				a -   Définition
				b -   Théorème
	Chapitre VI :    Dénombrements, Probabilités et Lois de Probabilité
		I.  Dénombrements
			1°   Généralités
				a -   Parties d’un ensemble
				b -   Principe de la somme
				c -   Principe du produit
			2°   Les différents types de dénombrements
				a -   Permutation d’un ensemble
				b -   Liste sans répétitions de p éléments de E
				c -   Liste avec répétitions de p éléments de E
				d -    Combinaison de p éléments de E
			3°   Coefficients binomiaux et formule du binôme
				a -   Définition
				b -   Relation de Pascal
				c -   Formule du binôme
		II.  Probabilités
			1°   Généralités
				a -   Evénements
				b -   Définition des probabilités
				c -   Propriétés des probabilités
				d -    Equiprobabilité
			2°   Variables aléatoires
				a -   Définitions
				b -   Espérance mathématique
				c -    Variance et écart type
				d -   Propriétés de l’espérance, de la variance et de l’écart type
			3°   Probabilités conditionnelles
				a -    Définition
				b -   Arbre pondéré
				c -    Formule des probabilités totales
			4°   Indépendance
				a -   Evénements indépendants
				b -   Variables aléatoires indépendantes
				c -   Expériences aléatoires indépendantes
		III.  Lois de probabilité
			1°   Lois discrètes
				a -   Epreuve de Bernoulli
				b -   Loi de Bernoulli
				c -   Loi Binomiale
			2°   Lois de probabilité continues
				a -   Densité d’une loi de probabilité
				b -   Loi uniforme
				c -   Loi exponentielle
	Chapitre VII :    Les nombres complexes
		I.  Présentation des nombres complexes
			1°   Définitions
				a -   Ensemble ℂ
				b -   Ecriture algébrique
			2°   Représentation géométrique
			3°   Règles de calcul
				a -   Egalité de deux nombres complexes
				b -   Somme et produit
				c -   Inverse
				d -   Quotient
			4°   Conjugaison
				a -   Conjugué d’un nombre complexe
				b -    Propriétés
				c -   Interprétation géométrique
		II.  Module d’un nombre complexe
			1°   Coordonnées polaires (Rappels)
				a -   Définition
				b -   Relations entre cordonnées polaires et cartésiennes
			2°   Module d’un nombre complexe
				a -   Définition
				b -   Propriétés
			3°   Argument d’un nombre complexe
				a -   Définition
				b -   Propriétés
			4°   Forme trigonométrique
			5°   Notation exponentielle
				a -   Complexe de module 1
				b -    Forme générale
				c -   Propriétés
			6°   Formules de Moivre et d’Euler
		III.  Equation du second degré
			1°   Racine carrée d’un réel a
				 1er cas : a 0
				 2ème cas : a < 0
			2°   Equation du second degré à coefficients réels
		IV.  Nombres complexes et Géométrie plane
			1°   Vecteurs
				a -   Affixe
				b -   Barycentre
			2°    Mesure d’un angle orienté
			3°   Ensemble de points
				a -   Cercle
				b -   Médiatrice
			4°   Transformations
				a -   Translation
				b -   Rotation
				c -   Homothétie
	Chapitre VIII :    Géométrie dans l’espace
		I.  Produit scalaire dans l’espace
			1°   Produit scalaire dans l’espace
				a -   Définition
				b -   Expressions du produit scalaire
				c -    Propriétés
			2°   Orthogonalité dans l’espace
				a -   Vecteurs orthogonaux
				b -   Droites orthogonales
				c -   Vecteur normal à un plan
				d -    Droite orthogonale à un plan
			3°   Géométrie analytique
				a -   Expression analytique du produit scalaire
				b -   Equation cartésienne d’un plan
				c -   Distance d’un point à un plan
		II.  Barycentre
			1°   Définition du barycentre
			2°   Théorèmes d’associativité et de multiplication par un réel
			3°   Segment, droite, plan et triangle
		III.  Droites de l’espace
			1°   Représentation paramétrique
				a -   Droite
				b -   Segment et demi-droite
			2°   Système d’équations d’une droite
			3°   Intersection d’une droite et d’un plan
		IV.  Plans de l’espace
			1°   Intersection de deux plans
				a -   P1 et P2 sont confondus
				b -   P1 et P2 sont disjoints
				c -   P1 et P2 sont sécants
			2°   Intersection de trois plans
				a -   Tous les points en commun
				b -   Aucun point commun aux trois plans
				c -   Un seul point commun aux trois plans
				d -   Une droite commune
	Chapitre IX :    Arithmétique (Spécialité)
		I.  Divisibilité dans ℤ
			1°   Multiples et diviseurs
			2°   Propriétés
				a -   Multiples
				b -   Diviseurs
			3°   Division euclidienne
		II.  Les congruences
			1°   Entiers congrus modulo n
			2°   Propriétés
		III.  Les nombres premiers
			1°   Définitions
			2°   Propriétés
			3°   Décomposition en produit de nombres premiers
				a -   Décomposition
				b -   Diviseurs
			4°   Divisibilité dans ℕ
				a -   Divisibilité par un nombre premier
				b-    Le petit théorème de Fermat
		IV.  PGCD et PPCM
			1°   Définitions
			2°   Nombres premiers entre eux
			3°   Calcul du PGCD de deux entiers
				a -   1ère méthode : Algorithme d’Euclide
				b -   2ème  méthode : décomposition en produit de facteurs premiers
			4°   Théorème de Bézout
				a -   Deux entiers relatifs quelconques
				b -   Deux entiers relatifs premiers entre eux
			5°   Théorème de Gauss
			6°   Propriété du PGCD et du PPCM
			7°   Calcul du PPCM de deux entiers
				a -   1ère méthode
				b -   2ème méthode
	Chapitre X :    Sections planes de Surfaces (Spécialité)
		I.  Cylindre de révolution
			1°   Généralités sur les sections planes de surfaces
			2°   Description d’un cylindre de révolution
			3°   Section par un plan parallèle à (xOy)
			4°    Section par un plan parallèle à (yOz) ou (zOx)
				 Cas 1 :   = R
				 Cas 2 :   < R
				 Cas 3 :   > R
		II.  Cône de révolution
			1°   Description d’un cône de révolution
			2°   Section par un plan parallèle à (xOy)
			3°   Section par un plan parallèle à (yOz) ou (zOx)
				 Cas 1 : a = 0 ( le plan est le plan (zOx))
				 Cas 2 : a ( 0
		III.  Surface d’équation  z = x2 + y2
			1°   Description d’une surface d’équation  z = x2 + y2
			2°   Section par un plan parallèle à (xOy)
				Cas 1 : a > 0
				 Cas 2 : a = 0 ( le plan est le plan (zOy))
				 Cas 3 : a < 0
			Section par un plan parallèle à (yOz) ou (zOx)
		IV.  Surface d’équation  z = x y
			1°   Dessin de la surface d’équation  z = x y
			2°   Section par un plan parallèle à (xOy)
				 Cas 1 : a = 0 ( le plan est le plan (zOx))
				 Cas 2 : a ( 0
			3°   Section par un plan parallèle à (yOz) ou (zOx)
			 Section par un plan parallèle à (zOx) d’équation y = a.
			 Section par un plan parallèle à (yOz) d’équation x = b.
	Chapitre XI :    Similitudes planes (Specialite)
		I.  Généralités
			1°   Définition d’une similitude
			2°   Définition d’une isométrie
			3°   Propriétés
			4°   Composition
		II.  Similitudes
			1°   Ecritures complexes
				a -   Similitude
				b -   Isométrie
			2°   Propriétés géométriques
				a -   Conservation de la forme géométrique
				b -   Conservation de propriétés géométriques
				c -   Aires
			3°   Décomposition
			4°   Similitude fixant deux points distincts
		III.  Similitude directe ou indirecte
			1°   Définitions
				a -   Similitude directe
				b -   Similitude indirecte
				c -   Caractérisation géométrique des similitudes directes
			2°   Propriété
			3°   Forme réduite d’une similitude directe
				- Si a = 1, alors S est une translation de vecteur d’affixe b.
				- Si a   1, alors S est la composée de l’homothétie de centre   de rapport k = |a|, et de la rotation de même centre   d’angle   = Arg(a)  [ ] .   est le point dont l’affixe est solution de l’équation z = az + b (seul point fixe de S).
			4°   Récapitulatif des écritures complexes
Partie B :    Enoncés des Exercices
	Chapitre I :    Limites et Continuité de Fonctions
	Chapitre II :    Dérivation et Etude de Fonctions
	Chapitre III :    Exponentielle, Logarithme, puissance
	Chapitre IV :    Intégrales, Primitives, Equations différentielles
	Chapitre V :    Suites numériques
	Chapitre VI :    Dénombrements, Probabilités et Lois de probabilité
	Chapitre VII :    Les nombres complexes
	Chapitre VIII :    Géométrie dans l’espace
	Chapitre IX :    Arithmétique ( Spécialité)
	Chapitre X :    Sections Planes de Surfaces (Spécialité)
	Chapitre XI :    Isométries Planes (Spécialité)
	Preparation au Bac
Correction des exercices
	Chapitre I :   Limites et Continuité de Fonctions
	Chapitre II :  Dérivation et Etude de Fonctions
	Chapitre III :  Exponentielle, Logarithme et Puissance
	Chapitre IV :  Intégrales, Primitives, Equations différentielles
	Chapitre V :  Suites numériques
	Chapitre VI :  Dénombrements, Probabilités et Lois de Probabilité
	Chapitre VII :  Nombres complexes
	Chapitre VIII :  Géométrie dans l’Espace
	Chapitre IX :  Arithmétique (Spécialité)
	Chapitre X :  Sections Planes de Surfaces (Spécialité)
	Chapitre XI :  Similitudes Planes (Spécialité)
                        
Document Text Contents
Page 1

MATHéMATIQUES

Terminale S

v 10/10

Page 2

Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 1 © Complétude 2010/2011





Sommaire




Partie A : Résumés de cours 3
Chapitre I : Limites et continuité de fonctions 4

I. Limites et comportements asymptotiques 4
II. Continuité 12

Chapitre II : Dérivation et étude de fonctions 15
I. Dérivation 15
II. Etude de fonctions 19

Chapitre III : Exponentielle, logarithme, puissance 22
I. Fonction exponentielle 22
II. Fonction logarithme 24
III. Fonction puissance 26
IV. Croissance comparée 27

Chapitre IV : Intégrales, primitives, équations différentielles 29
I. Intégrales 29
II. Primitives 32
III. Calcul d’intégrales 34
IV. Equations différentielles 35

Chapitre V : Suites numériques 37
I. Généralités 37
II. Raisonnement par récurrence 39
III. Limites et convergence 39

Chapitre VI : Dénombrements, probabilités et lois de probabilité 44
I. Dénombrements 44
II. Probabilités 49
III. Lois de probabilité 53

Chapitre VII : Les nombres complexes 55
I. Présentation des nombres complexes 55
II. Module d’un nombre complexe 57
III. Equation du second degré 60
IV. Nombres complexes et géométrie plane 61

Chapitre VIII : Géométrie dans l’espace 64
I. Produit scalaire dans l’espace 64
II. Barycentre 67
III. Droites de l’espace 68
IV. Plans de l’espace 69

Chapitre IX : Arithmétique (spécialité) 71
I. Divisibilité dans ℤ 71
II. Les congruences 72
III. Les nombres premiers 72
IV. PGCD et PPCM 74

Chapitre X : Sections planes de surfaces (spécialité) 76

Page 78

4° Section par un plan parallèle à (yOz) ou (zOx)
Soit C un cylindre de révolution d’axe (Oz) de base un cercle de centre O et de rayon R.
Ce cylindre étant une surface de révolution autour de l’axe (Oz), les sections par des plans
parallèles à (yOz) ou (zOx) sont de la même nature.

Nous allons déterminer dans ce paragraphe, la section du cylindre C par un plan Q parallèle à (zOx)
d’équation y = a (a un réel donné).

Trois cas sont à envisager :


Cas 1 : a = R
Le plan Q d’équation y = a rencontre le cylindre selon
une droite correspondant à une génératrice du cylindre :


Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 77 Complétude 2010/2011



c’est la droite d’équation x = 0 dans Q.

Cas 2 : a < R
Le plan d’équation y = a rencontre le cylindre selon deux
droites correspondant à deux génératrices du cylindre : ce
sont les droites d’équations x = 22 aR et x = - 22 aR
dans le plan Q.

Cas 3 : a > R
Le plan d’équation y = a ne rencontre pas le cylindre.







O

z

x

y

Génératrice
du cylindre

O

z

x

y

Génératrices
du cylindre


Cas 1 Cas 2


De la même façon, si on s’intéresse à la section du cylindre C par un plan Q’ parallèle à (yOz)
d’équation x = k (k un réel donné), on a :
- si | k | > R : l'ensemble vide.
- si | k | = R : la droite d'équation y = 0 (dans le plan R).
- si | k | < R : les droites d'équations y = 22 kR et y = - 22 kR (dans le plan Q’).

Page 79

II. CONE DE REVOLUTION

1° Description d’un cône de révolution


z

x

y O

Soit un cône de révolution d’axe (Oz), de sommet O.
La base circulaire du cylindre est un cercle du plan z
= 1, de rayon r (r >0), centré en ( 0 , 0 , 1 ).

Un point M ( x , y , z ) appartient à ce cône si et

seulement si : .


⎧ =+

réelz
zryx 2222





2° Section par un plan parallèle à (xOy)


Soit C un cône de révolution d’axe (Oz) , de base un cercle de centre le point de
coordonnées ( 0 , 0 , 1 ) et de rayon r ( r > 0)
Soit P un plan parallèle à (xOy) d’équation z = a (a un réel donné)


La section de C par P est un cercle du plan P, centré sur (Oz) et de rayon R = ar × .

Ce cercle a pour équation : .




=
=+

az
aryx 2222

3° Section par un plan parallèle à (yOz) ou (zOx)

Soit C un cône de révolution d’axe (Oz) , de base un cercle de centre le point de coordonnées ( 0 , 0
, 1 ) et de rayon r ( r > 0)
Ce cône étant une surface de révolution autour de l’axe (Oz), les sections par des plans parallèles à
(yOz) ou (zOx) sont de la même nature.

Nous allons déterminer dans ce paragraphe, la section du cône C. par un plan P parallèle à (zOx)
d’équation y = a (a un réel donné).

Deux cas sont à envisager :


Cas 1 : a = 0 ( le plan est le plan (zOx))


Le plan (zOx) d’équation y = 0 rencontre le cône selon la réunion de deux droites D1 et D2
( génératrices du cône) d’équations dans la plan (zOx):
D1 : r z – x = 0 et D2 : r z + x = 0 .

Cas 2 : a ≠ 0

Le plan d’équation y = a rencontre le cône selon une hyperbole H de sommet le point de
coordonnées ( 0 , a , 0 ) et d’asymptotes parallèles aux droites D1 et D2 définies ci-dessus.


Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 78 © Complétude 2010/2011

Page 155

Donc la rotation s’écrit

2
i

2
3az.

2
3i

2
1'z

Donc, pour avoir , on applique cette rotation à
et en développant on trouve le résultat.

Cz

Bz
2) Trouvons une équation de ( ). La distance

de A à ( ) est , la distance de O à ( ) est
donc (a+ ) Donc une équation de ( ) est
y = a + .
Donc C ( ), si son ordonnée (c’est à dire sa
partie imaginaire) est égale à (a + ), soit

a)3za(
2
1

B soit

)2a(
3

1zB

3) Trouvons AB². O étant le projeté
orthogonal de A sur (D), le triangle AOB est
rectangle en O, donc d’après le théorème de
Pythagore, 222 OBAOAB
Mais OB = et OA = a. En remplaçant on
arrive au résultat.

Bz

4) ABC est équilatéral. La hauteur h d’un tel

triangle est égale à
2
3ABh , ce qui donne

hAB
2
1S .





Mathématiques Terminale S – V07/10 – page 154 Complétude 2009/2010

Page 156

Cours particuliers
Stages en petits groupes

0 810 13 14 15
(prix appel local)

w
w

w
.c

om
p

le
tu

d
e.

co
m

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