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TitleMetodo de La Maxima Pendiente
TagsDerivative Equations Function (Mathematics) Linearity Gradient
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MÉTODO DE LA MÁXIMA PENDIENTE

I. Introducción



Uno de los métodos más antiguos para minimizar una función de varias

variables es el método de la máxima pendiente, también llamado método del

gradiente o método del descenso.



El método de la Máxima Pendiente converge a la solución generalmente sólo de

manera lineal, pero es de naturaleza global, esto es, a partir de casi cada valor

inicial se produce convergencia, aunque estos valores iniciales sean deficientes.

En consecuencia, con él se logran aproximaciones iniciales suficientemente

exactas para las técnicas que tienen como base el método de Newton, del mismo

modo que el método de la bisección se utiliza en una sola ecuación.



El método de la Máxima Pendiente determina un mínimo local para una función

de varias variables de la forma g: lR
n
lR. El método es de gran utilidad

independientemente de su aplicación como primer método para resolver los

sistemas no lineales.



La conexión entre el problema de minimizar una función de lR
n

en lR y la

resolución de un sistema de ecuaciones no lineales reside en el hecho de que un

sistema lineal de la forma:



( )

( )





( )



tiene una solución en ( )
justo cuando la función g definida

por:

( ) ∑, ( )-








tiene valor mínimo cero.



En el método de la Máxima Pendiente para encontrar un mínimo local de una

función cualquiera g de lR
n

en lR puede describirse de manera intuitiva como

sigue:



→ Evaluar la función g en una aproximación inicial

( ) (
( )

( )


( )
) .

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VI. Conclusiones y recomendaciones



 El método de la máxima pendiente es un método que converge sólo

linealmente a la solución.

 Este método casi siempre convergirá incluso con aproximaciones

iníciales deficientes.

 El método de la máxima pendiente es de convergencia lenta, se

necesitará más iteraciones para aproximarnos cada vez más.

 Se recomienda tener mucho cuidado en el cálculo de cada iteración, ya

que un mal cálculo podría hacernos repetir todo el procedimiento.

 El método de la máxima pendiente admite muchas variaciones, algunas

de las cuales incluyen técnicas más complejas para determinar el valor de

.

 Tenemos que tener conocimientos con el método de Interpolación de

Newton, o algún otro que nosotros tengamos conocimiento para la

construcción del polinomio cuadrático, que necesitamos en el método de

la máxima pendiente.



VII. Anexo







Programa en Matlab

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function [x,varargout]= maxPendiente(a,b,varargin)


n=length(a); x=zeros(n,1);
mmax=40; eps=1e-6;


if nargin>2
mmax=varargin{1};
end


if nargin>3
eps=varargin{2};
end
if (nargin>4)
x=varargin{3};
end


res=zeros(1,mmax);
r=b-a*x; res(1)=dot(r,r); aux=norm(b);
for m=1:mmax
p=a*r;
xi=res(m)/dot(r,p);
x=x+xi*r;
r=r-xi*p;
res(m+1)=dot(r,r); % guardamos los residuos
if (sqrt(res(m+1))<eps*aux);
break
end
end
res=res(1:m+1);
if (m==mmax) && nargout<=3
disp('numero maximo de iteraciones sobrepasado')
end


if nargout>1
varargout{1}=m;
end
if nargout>2
varargout{2}=sqrt(res(:));
end
if (nargout>3)
if m==mmax
varargout{3}=0;
else
varargout{3}=1;
end
end


return

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